Условие
X₁,X₂ независимы N(a,1). Проверяется H0:a=1 против Ha:a=2; H0 отвергается, если X₁+X₂>1,5. Найдите ошибки I и II рода.
Распределение суммы
S=X₁+X₂∼N(2a,2), стандартное отклонение √2.
Ошибка I рода
При H0 среднее суммы равно 2. Поэтому
α=P[S>1,5]=P[Z>(1,5−2)/√2]=Φ(0,353553)≈0,638163.
Источник округляет это до 0,64.
Ошибка II рода
При альтернативе среднее S равно 4. Не отвергнуть H0:
β=P[S≤1,5]=Φ((1,5−4)/√2)=Φ(−1,767767)≈0,03855.
Источник округляет до 0,04.
Интерпретация
Критерий имеет очень высокий уровень ошибки I рода — около 64%. Это следствие порога, который лежит ниже даже среднего S при H0. Низкая β сама по себе не делает такой тест разумным: мощность покупается чрезмерным количеством ложных отклонений.
statistics_pro 12.5 · CC0 1.0 · округлённые ответы источника сохранены; точность уточнена.