X̃ᵀX̃=[[6,4],[4,6]]; λ={10,2}; v₁=(1,1)/√2
Условие
Две переменные заданы векторами x=(1,0,0,3)ᵀ и z=(3,2,0,3)ᵀ. Найдите первую и вторую главные компоненты.
Центрирование
Средние равны x̄=1 и z̄=2. Матрица центрированных наблюдений:
X̃=[[0,1],[-1,0],[-1,−2],[2,1]].
Матрица разброса
Источник получает
X̃ᵀX̃=[[6,4],[4,6]].
Её eigenvalues: λ₁=10, λ₂=2. Соответствующие единичные eigenvectors можно взять
v₁=(1,1)/√2, v₂=(1,−1)/√2.
Scores главных компонент
P=X̃V. Поэтому первая компонента:
PC₁=(1,−1,−3,3)ᵀ/√2.
Вторая:
PC₂=(−1,−1,1,1)ᵀ/√2.
Доля объяснённого разброса
Масштаб делителя ковариации не влияет на долю. Первая компонента объясняет 10/(10+2)=5/6≈83,33%, вторая — 1/6.
Знак собственного вектора произволен: замена v на −v меняет знак scores, но не компонентное подпространство и не explained variance.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 72 · CC BY 4.0. Матрица, eigenpairs и scores источника сохранены; доля разброса добавлена.