«Ёлки закончатся первыми» означает, что последняя ёлка встретится раньше последней берёзы и последнего дуба. Вид первого дерева на аллее этого не определяет.
P(type first exhausted) — из количества каждого вида
Условие
В случайном порядке стоят 5 ёлок, 6 берёз и 7 дубов. Идя от начала аллеи, найдите вероятность, что ёлки закончатся позже всех; раньше всех; раньше дубов; а также вероятность хотя бы одной берёзы и хотя бы одного дуба после последней ёлки.
Все перестановки конкретных деревьев считаются равновероятными. Источник содержит подсказку смотреть на крайние деревья; ниже дан полный редакционный вывод.
Ёлки заканчиваются последними
Это происходит тогда и только тогда, когда последнее из всех 18 деревьев — ёлка. Каждое дерево равновероятно занимает последнюю позицию:
P(ёлки позже всех) = 5/18.
Ёлки заканчиваются раньше дубов
Мысленно уберём берёзы. Относительный порядок пяти ёлок и семи дубов останется случайным. Ёлки закончились раньше дубов, если последнее из этих 12 деревьев — дуб:
P(последняя ёлка раньше последнего дуба) = 7/12.
Положение берёз не влияет на сравнение этих двух последних позиций.
Ёлки заканчиваются раньше обоих других видов
Обозначим A — после последней ёлки нет берёз, B — после последней ёлки нет дубов. Тогда P(A) = 5/11, поскольку среди ёлок и берёз последней должна быть ёлка. Аналогично P(B) = 5/12.
Событие A ∩ B означает, что последняя ёлка стоит позже всех деревьев, поэтому P(A ∩ B) = 5/18. По включениям и исключениям:
P(ёлки раньше всех) = 1 − 5/11 − 5/12 + 5/18 = 161/396 ≈ 0,406566.
Деревья после последней ёлки
Требование «после последней ёлки есть хотя бы одна берёза и хотя бы один дуб» совпадает с событием предыдущего пункта. Поэтому ответ также 161/396, а не новая независимая вероятность.
Нельзя перемножить вероятности «последняя ёлка раньше берёзы» и «раньше дуба»: оба события используют одну и ту же последнюю ёлку и зависимы. Включения и исключения учитывают их пересечение явно.
Проверка здравого смысла: вид с наименьшим числом деревьев действительно имеет заметный шанс закончиться раньше остальных, но вероятность не определяется одним отношением 5/18 — оно описывает совершенно другое событие, последний вид.
Пересечение и объединение событий · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 3.6 · CC BY 4.0. Адаптация; подсказка развёрнута в решение.