Задача
Для двух периодов y_i1=a_i+βx_i1+u_i1, y_i2=a_i+βx_i2+u_i2. Уберите a_i.
Разность
Δy_i=y_i2−y_i1=β(x_i2−x_i1)+(u_i2−u_i1)=βΔx_i+Δu_i.
Оценка
При подходящей экзогенности Δx можно регрессировать Δy на Δx. Для T=2 fixed effects и first-difference slope совпадают.
Что меняется при большем T
При T>2 within и first-difference используют variation по-разному и обычно дают разные finite-sample estimates. Их relative efficiency зависит от serial correlation исходных ошибок.
Measurement error
Дифференцирование способно усилить относительную роль ошибки измерения: постоянный сигнал частично сокращается, а независимый шум двух периодов складывается в Δ.
Редакционная практика по panel econometrics metrics_pro · CC BY 4.0.