Условие
A размера p×p и B размера q×q обратимы. Найдите обратные для diag(A,B), [[0,A],[B,0]], [[A,C],[0,B]] и [[A,0],[C,B]], с согласованными размерами остальных блоков.
Ключ источника
diag(A,B)⁻¹=diag(A⁻¹,B⁻¹).
[[0,A],[B,0]]⁻¹=[[0,B⁻¹],[A⁻¹,0]].
[[A,C],[0,B]]⁻¹=[[A⁻¹,−A⁻¹CB⁻¹],[0,B⁻¹]].
[[A,0],[C,B]]⁻¹=[[A⁻¹,0],[−B⁻¹CA⁻¹,B⁻¹]].
Редакционная проверка верхнетреугольного случая
В произведении исходной матрицы на предложенную обратную диагональные блоки равны I. Верхний правый блок: A(−A⁻¹CB⁻¹)+CB⁻¹=−CB⁻¹+CB⁻¹=0. Остальные нулевые блоки сохраняются. Умножение в обратном порядке также даёт единицу.
Именно этот расчёт фиксирует порядок A⁻¹CB⁻¹. Перестановка крайних обратных матриц в общем случае не разрешена, даже если размеры случайно совпадают.
Особенность перестановочного случая
При p≠q в [[0,A],[B,0]] размеры групп строк равны p,q, а групп столбцов — q,p. У обратной матрицы группировки меняются местами. Поэтому форма с B⁻¹ в верхнем правом блоке остаётся корректной, но нулевые блоки имеют прямоугольные размеры.
Где формулы неприменимы
Если A или B необратима, указанные выражения не определены. Для общих блочных матриц с двумя ненулевыми внедиагональными блоками этих четырёх правил недостаточно: нужны дополнения Шура или другая процедура обращения.
Борис Демешев и участники · Исходные четыре формулы · CC BY 4.0. Ключ сохранён; размеры и проверка добавлены.