Условие
Найдите результат и размеры блоков: 1) [A B][[C,D],[E,F]]; 2) [[C,D],[E,F]][A;B], где C имеет размер p×p, F — q×q; 3) транспонирование [[A,B],[C,D]], где C — p×p, B — q×q.
Ответы источника
1) [AC+BE, AD+BF]. 2) [CA+DB; EA+FB]. 3) [[Aᵀ,Cᵀ],[Bᵀ,Dᵀ]].
Размеры первого произведения
Если у A и B по m строк, то A имеет m×p, B — m×q. D имеет p×q, E — q×p. Блок AC+BE имеет m×p, AD+BF — m×q. Полный результат имеет m×(p+q).
Размеры второго произведения
Если A и B имеют n столбцов, то их размеры p×n и q×n. Верхний блок CA+DB имеет p×n, нижний EA+FB — q×n. Полный результат — (p+q)×n.
Транспонирование
Из заданных квадратных B и C следует A размера q×p и D размера p×q. После транспонирования Aᵀ имеет p×q, Cᵀ — p×p, Bᵀ — q×q, Dᵀ — q×p. Блоки меняются местами вместе с транспонированием каждого внутреннего блока.
Редакционная проверка
Формулы работают как обычное матричное умножение, но каждый «элемент» является матрицей. Складывать можно только блоки одинакового размера. Перестановка AC в CA в общем случае меняет значение или делает произведение неопределённым.
При p≠q проверка размеров особенно полезна: ошибочная перестановка внешне похожих блоков обнаруживается ещё до вычисления чисел. Упражнение не требует дополнительных предположений об обратимости или симметрии.
Борис Демешев и участники · Исходное задание и ответ · CC BY 4.0. Размеры источника сохранены; проверка пояснена.