Условие
На множестве {1,2,3,6} положим a≤b, если a делит b. Найдите наименьший и наибольший элементы, а также точную нижнюю и верхнюю границы пары {2,3}.
Решение по шагам
Делимость рефлексивна, транзитивна и антисимметрична для положительных чисел, поэтому задаёт частичный порядок. Число 1 делит все элементы и является наименьшим; все элементы делят 6, поэтому 6 — наибольший.
Для пары 2 и 3 общие нижние границы внутри множества состоят только из 1, общие верхние — только из 6. Значит inf{2,3}=1 и sup{2,3}=6. При этом 2 не делит 3 и 3 не делит 2: порядок не линейный.
Проверка результата
Перебор отношений делимости даёт девять связанных упорядоченных пар. Проверка общих делителей и кратных внутри указанного множества подтверждает обе границы.
Типичная ошибка
Сравнивать числа по обычному знаку < нельзя: здесь символ ≤ обозначает другое отношение. Верхняя граница ищется в исходном множестве.
Что даёт этот метод
В множестве положительных делителей фиксированного числа инфимум связан с НОД, а супремум — с НОК. Диаграмма Хассе показывает лишь непосредственные связи.
Дальше по теме
Комбинаторика и дискретная математика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.