Условие
Сколько упорядоченных троек целых чисел (x₁,x₂,x₃) удовлетворяют x₁+x₂+x₃=10 и 0≤xᵢ≤4?
Решение по шагам
Вместо самих чисел рассмотрим нехватку до верхней границы: yᵢ=4−xᵢ. Тогда y₁+y₂+y₃=12−10=2. Все yᵢ неотрицательны; при сумме 2 верхнее ограничение yᵢ≤4 выполняется автоматически. Число троек равно C(4,2)=6.
Нехватку 2 можно разместить как (2,0,0) в трёх порядках или как (1,1,0) ещё в трёх. Исходные тройки — перестановки (2,4,4) и (3,3,4).
Проверка результата
Полный перебор 5³=125 троек находит ровно шесть. Включения и исключения дают тот же ответ: C(12,2)−3C(7,2)+3C(2,2)=6.
Типичная ошибка
Обычная формула C(12,2)=66 игнорирует верхнюю границу. Преобразование к нехватке полезно именно потому, что сумма близка к максимально возможной.
Что даёт этот метод
При ограничениях xᵢ≤m замена yᵢ=m−xᵢ превращает сумму n в km−n. Иногда новая сумма настолько мала, что ограничения исчезают.
Дальше по теме
Комбинаторика и дискретная математика: другие задачи и разборы.
Учебное условие и объяснение сформулированы редакцией damirock.com. Это самостоятельный разбор, а не официальный билет или ключ экзамена. Числа относятся к модели задачи.