Условие
N_t — Poisson process с rate 1. Найдите P(N_t чётно).
Решение источника
Обозначив a(t)=P(N_t even), источник получает локальную рекурсию и ODE a′(t)=1−2a(t), a(0)=1.
Отсюда
P(N_t even)=(1+e^{-2t})/2.
Проверка через PGF
E[(-1)^{N_t}]=exp[t((-1)−1)]=e^{-2t}. Но P(even)−P(odd)=E[(-1)^N], а сумма двух вероятностей равна 1. Решение той же системы даёт формулу выше.
stochastic_pro, задача 181 · CC0 1.0. ODE и итог источника сохранены.