Jensen для exp(X): E[e^X]≥e^{E[X]}

Научная визуализация Jensen для exp(X): E[e^X]≥e^{E[X]}

Jensen для exp(X): E[e^X]≥e^{E[X]}. Выпуклая экспонента лежит не ниже касательной.

e^{E[X]} ≤ E[e^X]

Выпуклая экспонента лежит не ниже касательной.

Задача

Докажите E[e^X]≥e^{E[X]} при существовании нужных ожиданий.

f(x)=e^x, f″(x)=e^x>0. Поэтому f строго выпукла.

f(E[X])≤E[f(X)], то есть

e^{E[X]}≤E[e^X].

Из строгой выпуклости равенство возникает, если X почти наверное постоянна, при стандартных условиях.

Для X=±1 с вероятностями 1/2 E(X)=0, правая часть=(e+e^{-1})/2>1=e^0.

Редакционная практика по Jensen probability_pro · CC BY 4.0.