Научная визуализация
Ожидание числа неподвижных точек случайной перестановки
Ожидание числа неподвижных точек случайной перестановки. Диагональ кодирует неподвижные точки.
E[X]=ΣᵢE[Iᵢ]=n·(1/n)=1
Задача
Случайная перестановка n элементов равномерна среди n! вариантов. Сколько элементов в среднем остаются на своих местах?
Индикаторы
Пусть I_i=1, если элемент i остаётся на месте. Тогда X=ΣI_i.
Вероятность
Для фиксированного i его образ равномерно выбирается из n позиций, поэтому
P(I_i=1)=1/n.
Линейность ожидания
E(X)=ΣE(I_i)=n·(1/n)=1.
Независимость индикаторов для этого расчёта не требуется; они действительно зависимы.
Результат верен для любого n≥1, хотя само распределение X меняется и при больших n приближается к Poisson(1).
Редакционная практика по индикаторам probability_pro · CC BY 4.0.