Задача
Xᵢ iid Gamma(shape=2, rate=λ), λ>0. Постройте оценку λ методом первого момента.
Теоретический момент
Для Gamma(k,rate λ) среднее равно k/λ. Здесь E(X)=2/λ.
Метод моментов
Приравняем теоретическое среднее выборочному:
X̄=2/λ.
Отсюда
λ̂_MM=2/X̄.
Состоятельность
По закону больших чисел X̄→p2/λ, а функция 2/x непрерывна при положительном аргументе. Поэтому λ̂_MM→pλ.
Смещение
Состоятельность не означает точную несмещённость. Поскольку 1/X̄ нелинейна, E(2/X̄) обычно не равно 2/E(X̄). Для gamma-суммы конечное смещение можно вычислить отдельно.
Редакционная практика по методу моментов из statistics_pro · CC0 1.0.