Задача
Постройте непараметрический доверительный интервал для q-квантили ξ_q непрерывного распределения по порядковым статистикам.
Ключевая идея
Число наблюдений ниже истинной квантили имеет распределение B∼Bin(n,q). Событие X_(k)≤ξ_q≤X_(l) означает, что ниже квантили оказалось как минимум k наблюдений и не более l−1.
Покрытие
P[X_(k)≤ξ_q≤X_(l)] = P[k≤B≤l−1].
Поэтому индексы k,l выбираются по биномиальным квантилям так, чтобы эта вероятность была не меньше 1−α.
Медиана
Для q=1/2 используется симметричный Bin(n,1/2). Такой интервал не требует нормальности, конечной дисперсии или оценки плотности.
Дискретные распределения
При атомах равенство P(X<ξ_q)=q может не выполняться, и простая биномиальная калибровка требует уточнения определения квантили и строгих/нестрогих неравенств. Здесь рассматривается непрерывная версия задания.
HSE KNAD Statistics 2024–2025 · ha-04 · закреплённая редакция · CC0 1.0. Решение редакции.