Условие
Найдите матрицу отражения относительно плоскости, ортогональной w=(1,2,3)ᵀ, и общий вид для произвольного ненулевого w. Проверьте Uᵀ=U и U²=I.
Ответ источника
U=I−2wwᵀ/(wᵀw); Uᵀ=U; U²=I.
Численная матрица
Здесь wᵀw=14, поэтому
U=I−(1/7)[[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9]]
= (1/7)[[6,−2,−3],[−2,3,−6],[−3,−6,−2]].
Почему это отражение
Любой x раскладывается на x_parallel + x_perp, где x_parallel лежит в гиперплоскости, а x_perp=(wwᵀ/(wᵀw))x направлен по w. Формула оставляет x_parallel неизменным и меняет знак x_perp.
Симметричность очевидна из wwᵀ. Если P=wwᵀ/(wᵀw), то P²=P, поэтому (I−2P)²=I. Следовательно, U^{-1}=U=Uᵀ.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 39 · CC BY 4.0. Формула источника сохранена; численная матрица добавлена.