Экзаменационное условие
y_t=10+u_t+5u_{t−1}, где u — белый шум с дисперсией 20. Найдите среднее, дисперсию и ковариации, стационарность, инвертируемость и, если возможно, эквивалентную MA(1)-запись с коэффициентом не 5.
Ответ источника
E(y_t)=10; γ0=520, γ1=100, γk=0 при |k|>1. Процесс стационарен, но неинвертируем относительно u. Эквивалентная запись: y_t=10+v_t+0,2v_{t−1}.
Проверка ковариаций
γ0=20(1+25)=520. Единственное общее инновационное слагаемое у y_t и y_{t−1} даёт γ1=5·20=100. Поэтому ρ1=100/520=5/26, а остальные ненулевые лаги отсутствуют.
Инвертируемая эквивалентная модель
Чтобы новая MA(1) имела те же γ0 и γ1, нужно σ_v²·0,2=100, то есть Var(v_t)=500. Тогда 500(1+0,2²)=520. Дисперсия нового шума в кратком ключе не указана и здесь восстановлена.
Корень MA-полинома 1+5L находится в −0,2, внутри единичной окружности — исходная запись неинвертируема. У 1+0,2L корень −5, поэтому эквивалентная запись инвертируема.
Экзамен tssp_exams 2025–2026b · условие · ключ · CC0 1.0. Дисперсия v добавлена редакцией.