Условие
Найдите максимум 2x²+5y²+3z²+7w² при x²+y²+z²+w²=1.
Ответ источника
Оптимально x=y=z=0, w=1 или w=−1.
Короткое доказательство
Поскольку каждый коэффициент не превосходит 7,
2x²+5y²+3z²+7w²≤7(x²+y²+z²+w²)=7.
Равенство требует, чтобы компоненты при меньших коэффициентах были нулевыми. Тогда w²=1. Следовательно, максимум равен 7.
Спектральная интерпретация
Функция является квадратичной формой с диагональной матрицей diag(2,5,3,7). Максимум отношения Релея на единичной сфере равен наибольшему собственному значению матрицы — 7. Максимизаторы лежат в его собственном подпространстве.
Если максимальное собственное значение имело бы кратность больше единицы, множество максимизаторов было бы целой сферой внутри соответствующего подпространства; здесь оно одномерно.
statistics_pro 16.1 · CC0 1.0 · оптимум источника сохранён; спектральное объяснение добавлено.