Условие
Ответы 0–10 разделены на критиков, нейтральных и сторонников с вероятностями π−,π0,π+. Оцените Δ=π+−π− и постройте 95%-й асимптотический интервал.
Точечная оценка
При n независимых ответах и частотах N+,N−: Δ̂=N+/n−N−/n=p̂+−p̂−.
Ковариация долей
В мультиномиальной модели Var(p̂j)=πj(1−πj)/n, а для разных категорий Cov(p̂+,p̂−)=−π+π−/n. Именно ненулевую ковариацию подчёркивает ключ источника.
Дисперсия разности
Var(Δ̂)=[π++π−−(π+−π−)²]/n. Практическая оценка стандартной ошибки получается подстановкой наблюдаемых долей:
se=√{[p̂++p̂−−Δ̂²]/n}.
95%-й интервал Вальда: Δ̂±1,959964·se.
Масштаб показателя
Если NPS публикуется в процентных пунктах от −100 до 100, и оценку, и границы умножают на 100. Формула выше работает на вероятностной шкале от −1 до 1.
Это асимптотический интервал; при малых n или долях у границы нормальное приближение может быть неточным. Нельзя считать p̂+ и p̂− независимыми: увеличение одной категории уменьшает доступную общую долю для остальных.
statistics_pro 9.12 · CC0 1.0 · замечание о ковариации сохранено; интервал выведен.