Десять необычных оценок среднего: смещение, состоятельность и эффективность

Задача

Для iid Xᵢ с неизвестным средним нужно классифицировать десять способов модифицировать выборку перед усреднением: удалить наблюдение 13, оставить чётные, оставить первые 13, умножить 13-е на 13, прибавить к нему 13, дублировать его, дублировать все, умножать Xᵢ на i, прибавлять i и дублировать i-е наблюдение i раз.

Таблица ключа

Почему так

Удаление конечного числа наблюдений или половины выборки сохраняет несмещённость; во втором случае эффективный объём меньше. Оставление только первых 13 не наращивает информацию и потому несостоятельно.

Умножение 13-го наблюдения меняет сумму весов на 1+12/n: смещение исчезает при n→∞. Добавление 13 создаёт аффинную поправку 13/n, которая тоже исчезает. Равномерное дублирование каждого наблюдения не меняет среднее вообще. Взвешивание наблюдений растущими i без перенормировки создаёт растущий масштаб, а добавление i — растущее детерминированное смещение.

Дублирование i-го наблюдения пропорционально i после нормировки остаётся несмещённым и состоятельным, но равные веса имеют меньшую дисперсию среди линейных несмещённых оценок.

Термин «линейная»

Как в ключе, линейная оценка означает линейную комбинацию наблюдений без добавочной константы. Поэтому X̄+13/n отмечена как нелинейная в этом классе, хотя математически является аффинной функцией данных.

statistics_pro 7.2 · CC0 1.0 · классификация ключа сохранена; объяснение добавлено.