Условие
Истинная модель y=β₁+β₂x+β₃w+u. Известны Var(x)=9, Var(w)=4, Var(u)=1, Cov(x,w)=−2; ошибка не коррелирует с регрессорами. Наблюдения — случайная выборка. Из-за ненаблюдаемого w оценивается короткая модель y~1+x. Найдите предел β̂₂ и оцените состоятельность.
Ключ источника
plim β̂₂=β₂−(2/9)β₃. В общем случае оценка несостоятельна для β₂.
Редакционное доказательство
Наклон короткой регрессии стремится к Cov(x,y)/Var(x). Линейность ковариации даёт Cov(x,y)=β₂Var(x)+β₃Cov(x,w)+Cov(x,u)=9β₂−2β₃. Деление на 9 возвращает формулу ключа.
Наблюдаемый наклон смешивает прямую связь y с x и ту часть влияния w, которая связана с x. Знак отклонения зависит от β₃: при положительном β₃ наклон сдвинут вниз, при отрицательном — вверх.
Когда возникает исключение
При β₃=0 пропуск w не меняет структурную модель и предел равен β₂. В иной задаче смещение также исчезло бы при Cov(x,w)=0, но здесь эта ковариация задана как −2. Формулировку «всегда несостоятельна» нельзя использовать без исключения нулевого эффекта.
Что можно сказать о константе
Общий предел свободного члена — E(y)−[β₂−2β₃/9]E(x). При E(u)=0 это β₁+β₃E(w)+(2β₃/9)E(x). Средние x и w не даны, поэтому точный сдвиг константы из одних дисперсий не определяется.
Это вероятностный предел, а не точное конечновыборочное ожидание отношения случайных сумм. Закон больших чисел и ненулевая дисперсия x обеспечивают использованный переход к популяционным моментам.
Борис Демешев и участники · Исходная задача и ответ · CC BY 4.0. Ключ сохранён; исключения и константа пояснены.