Два задания источника
Гиперплоскость через конец y, ортогональная z, пересекает прямую span(x) в точке β̂_IVx. Выведите формулу IV и двухшаговый МНК, объясните отношение изменений y и x при изменении z. Затем найдите дополнительный регрессор w, чтобы коэффициент x в обычном МНК y~x+w совпал с IV.
Оба ключа пусты; ниже — редакционное решение без константы, как в исходных уравнениях.
Геометрическое условие
Остаток y−bx должен быть ортогонален z: zᵀ(y−bx)=0. Поэтому β̂_IV=zᵀy/(zᵀx), если zᵀx≠0.
Два шага
Первый шаг проецирует x на z: x̂=P_zx=z(zᵀx)/(zᵀz). Второй оценивает y по x̂. Его коэффициент (x̂ᵀx̂)⁻¹x̂ᵀy сокращается до zᵀy/(zᵀx).
Если отдельно оценить y~z и x~z, их наклоны равны zᵀy/(zᵀz) и zᵀx/(zᵀz). IV — отношение этих двух наклонов: сколько прогнозного изменения y приходится на единицу прогнозного изменения x вдоль вариации z.
Дополнительный регрессор
Возьмите w=x−x̂=(I−P_z)x. Тогда x=x̂+w и x̂ᵀw=0. Регрессия y на x,w эквивалентна регрессии на x̂,w; коэффициент при x равен коэффициенту при x̂ и совпадает с IV.
Если w=0, дополнительный столбец нужно удалить как нулевой; исходная регрессия по x уже совпадает с результатом инструментирования.
Алгебра и причинность
Эти тождества сами по себе не делают z валидным инструментом. Для статистической состоятельности нужны соответствующие моменты и отсутствие связи инструмента со структурной ошибкой. Причинную интерпретацию нельзя вывести только из факта пересечения гиперплоскости с прямой.
Борис Демешев и участники · Две связанные задачи об IV · CC BY 4.0. Объединение; решение редакции.