Условия источника
В нормальной регрессии с неизвестной дисперсией даны LR=nlogs, W=n(s−1), LM=n(s−1)/s, где s=SSR_R/SSR_UR. Докажите LM≤LR≤W. Затем для n=60, k=10, q=5 линейных ограничений найдите точные критические значения на уровне 5% и сравните с асимптотическими.
Редакционное доказательство
Ограниченная модель не может иметь меньшую остаточную сумму, поэтому s≥1. На отрезке [1,s] выполняется 1/s≤1/t≤1. Интегрирование даёт (s−1)/s≤logs≤s−1. После умножения на n получаем требуемый порядок. Равенство всех трёх имеет место при s=1.
Подсказка источника к точным порогам
Используйте точное F-распределение: F=[(SSR_R−SSR_UR)/5]/[SSR_UR/50]. Это F₅,₅₀ при нулевой гипотезе и нормальных ошибках.
Численный расчёт редакции
95%-й квантиль F₅,₅₀≈2,400409. Соответствующий порог отношения сумм c=1+(5/50)·2,400409≈1,240041.
LR_crit=60logc≈12,908662;
LM_crit=60(c−1)/c≈11,614500;
W_crit=60(c−1)≈14,402455.
Общий асимптотический порог χ²₅,₀․₉₅≈11,070498 ниже каждого из этих конечновыборочных порогов.
Как понимать сравнение
Точные тесты с преобразованными порогами эквивалентны одному F-тесту, поскольку все три статистики монотонно зависят от s. Если вместо этого сравнивать их с одинаковым асимптотическим числом в конечной выборке, решения могут различаться. Само неравенство статистик не означает, что один точный тест имеет другой уровень значимости.
Борис Демешев и участники · Неравенство и задача о порогах · CC BY 4.0. Подсказка сохранена; доказательство и квантили рассчитаны редакцией.