Условия
Для обратимой M=[[A,C],[D,B]], где A и B обратимы, найдите верхний левый блок обратной матрицы методом Гаусса и решением блочных уравнений. Докажите (A−CB⁻¹D)⁻¹=A⁻¹+A⁻¹C(B−DA⁻¹C)⁻¹DA⁻¹. Затем распишите XᵀX и его обратную при X=[L,R].
Ответ источника
Две формы верхнего левого блока: K₁₁=(A−CB⁻¹D)⁻¹ и A⁻¹+A⁻¹C(B−DA⁻¹C)⁻¹DA⁻¹. Их равенство — требуемое тождество.
Редакционное доказательство без лишней обратимости
Из MK=I следуют AK₁₁+CK₂₁=I и DK₁₁+BK₂₁=0. Второе даёт K₂₁=−B⁻¹DK₁₁. Подстановка в первое возвращает (A−CB⁻¹D)K₁₁=I.
Исключение первого блока методом Гаусса даёт дополнение S=B−DA⁻¹C и другую форму K₁₁=A⁻¹+A⁻¹CS⁻¹DA⁻¹. В одном ходе исходного решения используется D⁻¹, хотя D не обязан быть квадратным. Приведённый здесь ход этого не требует.
Два блока регрессоров
XᵀX=[[LᵀL,LᵀR],[RᵀL,RᵀR]]. Обозначим A=LᵀL, C=LᵀR, D=RᵀL, B=RᵀR и S=B−DA⁻¹C. Тогда обратная матрица имеет блоки:
K₁₁=A⁻¹+A⁻¹CS⁻¹DA⁻¹; K₁₂=−A⁻¹CS⁻¹; K₂₁=−S⁻¹DA⁻¹; K₂₂=S⁻¹.
Последняя часть в ключе не заполнена и дополнена редакцией. Полный столбцовый ранг X обеспечивает нужную обратимость в регрессионном случае. Для произвольной M обратимость отдельных A,B сама по себе не гарантирует обратимость всей M.
Борис Демешев и участники · Блочная обратная, регрессоры L,R · CC BY 4.0. Объединение; исправление объяснено.