Условия источника
Основная регрессия с константой, x,z оценена по 50 наблюдениям, R²=0,72. Вспомогательная регрессия квадратов остатков на 1,x,z,x²,z²,xz имеет R²_aux=0,36. Проверьте гомоскедастичность на 5%. Дополнительно найдите общее число коэффициентов вспомогательной регрессии при k коэффициентах исходной модели и вероятность W>10, среднее и дисперсию W в модели с двумя признаками и n=200.
Численный ключ теста
W=nR²_aux=18. Во вспомогательной модели пять неконстантных членов, поэтому асимптотический закон под H₀ — χ²₅. Порог 5% около 11,070498; гомоскедастичность отвергается. Асимптотическое p-значение около 0,002946.
Число коэффициентов
При p=k−1 исходных признаках включаются константа, p линейных членов, p квадратов и p(p−1)/2 попарных произведений. Всего 1+2p+p(p−1)/2=k(k+1)/2 — ответ источника.
Это число потенциальных столбцов. При линейной зависимости, например квадрате бинарного индикатора, совпадающем с самим индикатором, фактический ранг и число степеней свободы могут быть меньше.
Вероятность и моменты
Для двух независимых по столбцам признаков ключ даёт P(W>10)≈0,0752, E(W)≈5, Var(W)≈10. Это характеристики χ²₅-приближения; более точная хвостовая вероятность равна 0,075235.
Редакционное уточнение: статистика nR² в конечной выборке ограничена сверху n, поэтому её распределение не может в точности совпадать с неограниченным χ². Нормальность ошибок сама по себе не делает эту асимптотическую калибровку точной для любого n.
Борис Демешев и участники · Три последовательных задания · CC BY 4.0. Ключи объединены; асимптотическая природа отмечена.