θ̂=Σaᵢbᵢ/Σbᵢ² для Q(θ)=Σ(aᵢ−θbᵢ)²
Условие
Найдите МНК-оценку θ в моделях: 1) yᵢ=θ+θxᵢ+εᵢ; 2) yᵢ=1+θxᵢ+uᵢ; 3) yᵢ=θ/xᵢ+uᵢ; 4) yᵢ=θxᵢ+(1−θ)zᵢ+uᵢ. Дополнительно решите задачу МНК для yᵢ=β₁xᵢ+β₂zᵢ+uᵢ при β₁+β₂=1.
Ответы источника
| Модель | Оценка θ |
|---|---|
| 1 | Σyᵢ(1+xᵢ)/Σ(1+xᵢ)² |
| 2 | Σ(yᵢ−1)xᵢ/Σxᵢ² |
| 3 | Σ(yᵢ/xᵢ)/Σ(1/xᵢ²) |
| 4 | Σ(yᵢ−zᵢ)(xᵢ−zᵢ)/Σ(xᵢ−zᵢ)² |
Для ограниченной модели источник даёт β̂₂=Σ(yᵢ−xᵢ)(zᵢ−xᵢ)/Σ(zᵢ−xᵢ)², β̂₁=1−β̂₂.
Редакционный вывод
Все случаи сводятся к минимизации Σ(aᵢ−θbᵢ)². Производная равна −2Σbᵢ(aᵢ−θbᵢ), поэтому θ̂=Σaᵢbᵢ/Σbᵢ². Соответственно выбираются пары (a,b): (y,1+x), (y−1,x), (y,1/x), (y−z,x−z).
В дополнительном задании подставляем β₁=1−β₂ и получаем a=y−x, b=z−x. Это другая параметризация четвёртой модели, поэтому связанный пример не выделен в повторяющуюся страницу.
Каждый знаменатель должен быть положительным. В третьей модели также необходимы ненулевые xᵢ. Если bᵢ=0 для всех наблюдений, целевая функция не зависит от оцениваемого коэффициента и приведённое отношение не определяет единственную оценку.
Борис Демешев и участники · Четыре модели, ограничение · CC BY 4.0. Ключ сохранён; общий вывод добавлен.