Условие
В источнике это задача о серийных номерах танков: номера идут от 1 до неизвестного N, наблюдаются 15, 29 и 23. Нужно найти оценки методом моментов, максимального правдоподобия и несмещённую оценку с минимальной дисперсией.
Ниже рассматривается математическая модель равномерной выборки трёх различных номеров без возвращения. Историческая сноска источника не используется как независимо проверенное свидетельство. Решение редакционное.
Метод моментов
Среднее равномерного номера из {1,…,N} равно (N+1)/2. Выборочное среднее равно 67/3. Поэтому N̂MM=2X̄−1=131/3≈43,6667.
Оценка может быть нецелой, хотя параметр целочислен. Правило округления — дополнительное решение, не часть исходного равенства моментов.
Максимальное правдоподобие
Для наблюдаемого неупорядоченного набора вероятность равна 1/C(N,3) при N≥M, где M=29 — максимум. Она убывает с ростом N. Поэтому N̂ML=M=29.
Несмещённая оценка по максимуму
Для выборки k различных номеров P(M=m)=C(m−1,k−1)/C(N,k), k≤m≤N. Из этой формулы или симметрии промежутков следует E(M)=k(N+1)/(k+1).
Следовательно, N̂U=(k+1)M/k−1 несмещённа. При k=3 и M=29 получаем 113/3≈37,6667.
Почему дисперсия минимальна среди несмещённых
Максимум M достаточен: зависимость правдоподобия от N проходит через условие N≥M и нормировочный множитель. Он также полон. Если ENg(M)=0 для всех N≥k, то при N=k получаем g(k)=0; последовательное увеличение N позволяет по индукции получить g(k+1)=g(k+2)=…=0.
По теореме Лемана — Шеффе найденная несмещённая функция полного достаточного M имеет минимальную дисперсию. Её дисперсия равна (N+1)(N−k)/[k(k+2)].
Все выводы зависят от равномерности отбора номеров. При преимущественном попадании в выборку ранних или поздних экземпляров эти формулы не являются автоматически корректными оценками выпуска.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 4.5 · CC0 1.0. Математическое условие источника; решение редакции.