Условие
Деканат утверждает, что при переводе Вовочки из группы А в группу В средний рейтинг каждой группы повысится. Возможно ли это? Источник отвечает утвердительно. Для проверки построим конкретные группы; эти числа добавлены редакцией.
Числовой пример
Пусть рейтинги в группе А равны 40, 60 и 80. Среднее А равно 60. В группе В рейтинги равны 0 и 20, среднее В — 10.
Переведём студента с рейтингом 40 из А в В. В А останутся 60 и 80, среднее станет 70. В В окажутся 0, 20 и 40, среднее станет 20. Оба групповых средних действительно увеличились.
Рейтинг 40 был ниже среднего исходной группы, но выше среднего принимающей. Удаление такого наблюдения повышает первое среднее, а добавление — второе.
Общее условие
Обозначим прежние средние через a и b, численности групп через n и m, рейтинг переводимого студента — r. Предполагаем n > 1, чтобы исходная группа не опустела. Новые средние равны (na − r)/(n − 1) и (mb + r)/(m + 1).
Первое строго больше a тогда и только тогда, когда r < a. Второе строго больше b тогда и только тогда, когда r > b. Значит, оба средних растут при b < r < a.
Общее среднее не выросло
Во всём наборе пяти студентов сумма рейтингов остаётся 200, а численность — пять. Общее среднее как было 40, так и осталось 40. Изменились не индивидуальные рейтинги, а состав и веса групп.
Усреднять два групповых средних без учёта численности нельзя. До перевода общий показатель равен (3 · 60 + 2 · 10)/5, после — (2 · 70 + 3 · 20)/5. Оба выражения дают 40.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.4 · CC0 1.0. Ответ источника сохранён; пример и общий вывод добавлены.