Квадрат уничтожает знак, но сохраняет информацию о модуле. Поэтому X и X² могут быть сильно связаны, несмотря на нулевую ковариацию. Симметрия даёт простой способ это проверить.
Cov(X,X²)=E[X³]−E[X]E[X²]=0 для симметричного X
Два условия
В первом случае X равновероятно принимает −1, 0 и 1. Во втором X равномерна на [−1; 1]. В обоих случаях Y = X². Найдите Cov(X, Y) и проверьте независимость.
Две короткие задачи источника объединены для сравнения дискретного и непрерывного распределений. Исходные ответы «ковариация нулевая, величины зависимы» сохранены; ниже приведены доказательства.
Общий аргумент симметрии
Распределение X симметрично относительно нуля, поэтому E(X) = 0 и E(X³) = 0. Все нужные моменты конечны. Так как XY = X³:
Cov(X, X²) = E(X³) − E(X)E(X²) = 0.
Положительные и отрицательные значения вклада в смешанный момент компенсируются. Это не означает, что условное распределение квадрата остаётся неизменным.
Дискретный пример
Здесь E(X²) = 2/3. Величина Y равна 0 с вероятностью 1/3 и 1 с вероятностью 2/3. Если X = 0, то Y = 0 обязательно:
P(Y = 0 | X = 0) = 1 ≠ 1/3.
Условие имеет положительную вероятность, поэтому это непосредственная проверка зависимости через определение условной вероятности.
Непрерывный пример
Теперь E(X²) = 1/3, E(X⁴) = 1/5. Дополнительно Var(Y) = 1/5 − 1/9 = 4/45 > 0.
Рассмотрим события A = {|X| < 1/2} и B = {Y < 1/4}. Они совпадают, потому что Y = X². Каждое имеет вероятность 1/2, а их пересечение — тоже 1/2:
P(A ∩ B) = 1/2 ≠ (1/2)(1/2).
Следовательно, X и Y зависимы. Проверка использует события положительной вероятности и не требует деления на вероятность точного значения непрерывной X, равную нулю.
Как отличать два утверждения
Независимость при существующих вторых моментах влечёт нулевую ковариацию. Обратный вывод без дополнительных предпосылок неверен. Здесь зависимость нелинейная и детерминированная: зная X, мы точно знаем Y, хотя линейная корреляция равна нулю.
Преобразования случайных величин · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 16.3, 16.21 · CC BY 4.0. Адаптация; задачи объединены, доказательства добавлены.