Подставить случайную величину в её собственную функцию распределения — полезное преобразование. Для непрерывной функции распределения результат равномерен на [0; 1], но при скачках это утверждение меняется.
если F непрерывна, U=F(X)~U(0,1)
Дискретный пример
Пусть X принимает четыре значения x₁ < x₂ < x₃ < x₄ с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3; 0,4 соответственно. Порядок значений указан явно, поскольку F(x) накапливает вероятности именно слева направо.
| Значение X | F(X) | Вероятность |
|---|---|---|
| x₁ | 0,1 | 0,1 |
| x₂ | 0,3 | 0,2 |
| x₃ | 0,6 | 0,3 |
| x₄ | 1 | 0,4 |
Так, P(F(X) ≤ 0,5) = 0,3, а не 0,5. Величина F(X) здесь дискретна и не может иметь непрерывное равномерное распределение.
Непрерывная функция распределения
Если F непрерывна, преобразование U = F(X) имеет равномерное распределение на [0; 1]. Строгое возрастание F на всей прямой не требуется: плоские участки функции соответствуют интервалам, в которых X не имеет вероятностной массы.
Обоснование можно записать через обобщённую обратную функцию F: уровень t соответствует накопленной вероятности t, а возможные различия на концах плоского участка не добавляют массы. Поэтому для 0 ≤ t ≤ 1:
P(F(X) ≤ t) = P(F(X) < t) = t;
P(F(X) > t) = P(F(X) ≥ t) = 1 − t.
Равенство строгих и нестрогих вариантов связано с отсутствием атомов у U.
Что остаётся верным для произвольного распределения
При скачках F значение F(X) попадает на правый край соответствующего скачка. Поэтому оно в вероятностном смысле не меньше равномерной величины:
P(F(X) ≤ t) ≤ t; P(F(X) < t) ≤ t;
P(F(X) > t) ≥ 1 − t; P(F(X) ≥ t) ≥ 1 − t.
Для первого неравенства множество значений x с F(x) ≤ t является начальным участком числовой прямой, суммарная вероятность которого не превосходит t. Второе следует из включения событий, а два остальных — переходом к дополнениям.
Проверки
Если X постоянна, F(X) = 1 с вероятностью 1: при t < 1 вероятность F(X) ≤ t равна 0. Если X непрерывна, верхняя граница t достигается точно. Таким образом, непрерывный и вырожденный случаи показывают, насколько разным может быть преобразованное распределение.
Две задачи источника объединены в один разбор. Исходные ответы сохранены; доказательства, порядок дискретных значений и примеры добавлены редакцией.
Скачки функции распределения · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 9.23–9.24 · CC BY 4.0. Адаптация; задачи объединены, пояснения добавлены.