Для двух независимых бросков правильного кубика удобно представить квадрат из 36 клеток. Строка задаёт первый результат X₁, столбец — второй X₂. Каждая клетка имеет одинаковую вероятность 1/36.
P(S=s)=#{(i,j):i+j=s}/36
Условие
Найдите P(X₁ > X₂), вероятность чётного X₁, вероятность того, что X₁ делится на X₂ без остатка, и распределение суммы S = X₁ + X₂. В исходном сборнике решение не заполнено; далее — редакционный подсчёт.
Первый результат больше второго
На диагонали X₁ = X₂ находятся шесть клеток. Остальные 30 симметрично делятся между X₁ > X₂ и X₁ < X₂:
P(X₁ > X₂) = 15/36 = 5/12.
Вероятность не равна 1/2, поскольку равенство результатов имеет положительную вероятность 1/6.
Чётность первого результата
Первый результат может быть 2, 4 или 6, а второй — любым из шести. Подходит 18 клеток:
P(X₁ чётное) = 18/36 = 1/2.
Можно получить тот же ответ непосредственно по первому броску: три подходящие грани из шести.
Делимость
Зафиксируем делитель X₂. При X₂ = 1 подходят все шесть значений X₁; при 2 — значения 2, 4, 6; при 3 — 3 и 6; при 4, 5, 6 — по одному значению. Всего:
6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14;
P(X₁ делится на X₂) = 14/36 = 7/18.
Единица является допустимым делителем. Равные значения также подходят: число делится на себя. Исключать диагональ в этом пункте нельзя.
Распределение суммы
| s | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 36 · P(S = s) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Для 2 ≤ s ≤ 7 число пар равно s − 1, для 7 ≤ s ≤ 12 — 13 − s. Сумма числителей таблицы равна 36. Наиболее вероятна сумма 7: её дают шесть разных пар, тогда как крайние суммы — лишь по одной.
Редакционная проверка: симметрия распределения относительно 7 согласуется с E(S) = E(X₁) + E(X₂) = 3,5 + 3,5 = 7.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 3.1 · CC BY 4.0. Условие адаптировано; решение редакции.