Две карты выбирают без возвращения, но некоторые события всё равно оказываются независимыми. Проверять нужно конкретные события, а не делать вывод только по устройству эксперимента.
P(A)=4/36; P(S)=9/36; P(A∩S)=1/36=P(A)P(S)
Условие
Из хорошо перемешанной колоды 52 карт последовательно извлекают две. Исследуйте независимость трёх пар событий: первая карта — туз и вторая — пика; обе позиции заняты тузами; вторая карта одновременно рассматривается по признакам «туз» и «пика».
В колоде четыре туза, тринадцать пик, один туз пик. Пара событий A, B независима, когда P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Первый туз и вторая пика
При условии первого туза он является пиковым с вероятностью 1/4. Тогда среди оставшихся 51 карты пик 12. С вероятностью 3/4 первый туз другой масти и пик остаётся 13:
P(вторая пика | первый туз) = (1/4)(12/51) + (3/4)(13/51) = 1/4.
Это совпадает с безусловной вероятностью пики на второй позиции. Следовательно, события независимы. Их совместная вероятность равна (1/13)(1/4) = 1/52.
Туз на первой и туз на второй позиции
После первого туза остаётся три туза среди 51 карты:
P(второй туз | первый туз) = 3/51 = 1/17 ≠ 1/13.
Эта пара событий зависима. Равносильная проверка: совместная вероятность (4/52)(3/51) отличается от (4/52)².
Туз и пика на одной, второй позиции
Вторая карта сама по себе равномерна по всей исходной колоде. Пересечение признаков означает конкретную карту — туза пик:
P(второй туз и вторая пика) = 1/52 = (4/52)(13/52).
Следовательно, признаки независимы. Каждый ранг представлен ровно одной картой каждой масти; именно эта структура даёт факторизацию.
Что показывает сравнение
Информация о конкретной первой карте меняет состав колоды. Но информация только о её ранге может усредняться так, что вероятность масти второй карты остаётся прежней. Независимость событий слабее независимости полных результатов извлечений.
Все три вывода совпадают с источником; вычисление для первой пары развёрнуто через возможную масть первого туза.
Хотя бы один туз или конкретный туз пик · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 7.10 · CC BY 4.0. Адаптация; проверки независимости развёрнуты.