Несовместность, независимость и условная вероятность дают разные сведения о пересечениях. В одной задаче эти сведения могут относиться к разным парам событий; переносить одно свойство на все пары нельзя.
P(A∪B∪C)=ΣP(A)−ΣP(A∩B)+P(A∩B∩C)
Условие
Известно P(A) = 0,3, P(B) = 0,4, P(C) = 0,5. События A и B несовместны, A и C независимы, а P(B | C) = 0,1. Найдите P(A ∪ B ∪ C).
Восстанавливаем пересечения
Из несовместности A и B следует P(A ∩ B) = 0. Тройное пересечение содержится в A ∩ B, поэтому его вероятность также нулевая.
Из независимости A и C следует P(A ∩ C) = P(A)P(C) = 0,15.
Для B и C независимость не задана. Используем именно условную вероятность: P(B ∩ C) = P(B | C)P(C) = 0,05.
Включения и исключения
Формула для трёх событий складывает одиночные вероятности, вычитает попарные пересечения и возвращает тройное:
P(A ∪ B ∪ C) = 0,3 + 0,4 + 0,5 − 0 − 0,15 − 0,05 + 0 = 1.
Значит, хотя бы одно событие происходит с вероятностью 1. Это утверждение о вероятности, а не обязательное равенство объединения всему множеству элементарных исходов: вне него теоретически может оставаться множество нулевой вероятности.
Проверка по непересекающимся областям
Только A имеет вероятность 0,3 − 0,15 = 0,15. Только B — 0,4 − 0,05 = 0,35. Только C — 0,5 − 0,15 − 0,05 = 0,30. Пересечения A с C и B с C дают ещё 0,15 и 0,05.
Все пять чисел неотрицательны и суммируются в единицу. Такая проверка показывает, что исходные условия совместимы, а не привели к невозможной отрицательной области.
Типичная ошибка
Произведение P(B)P(C) равно 0,2, но использовать его вместо 0,05 нельзя: независимы только A и C. Несовместные A и B с положительными вероятностями также не независимы, поскольку их пересечение равно нулю, а произведение вероятностей положительно.
Границы вероятности пересечения двух событий · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 7.11 · CC BY 4.0. Адаптация; добавлена проверка областями.