Три возможных сочетания разных цветов не равновероятны: количество шаров каждого цвета различается. Равновероятны пары конкретных шаров, и именно их нужно считать.
P(разные)=1−Σᵢ cᵢ(cᵢ−1)/(N(N−1))
Условие
В урне 7 красных, 5 жёлтых и 11 белых шаров. Случайно выбирают два шара без возвращения. Найдите вероятность разных цветов и вероятность красно-белой пары, если уже известно, что цвета различны.
Считаем все неупорядоченные пары конкретных шаров равновероятными. Всего шаров 23, а пар C(23, 2) = 253.
Разные цвета
Красно-жёлтых пар 7 · 5 = 35, красно-белых 7 · 11 = 77, жёлто-белых 5 · 11 = 55. Эти случаи несовместны, поэтому число подходящих пар равно 167:
P(разные цвета) = 167/253 ≈ 0,660079.
Здесь нет дополнительного множителя 2: пара уже неупорядоченная. В последовательном подсчёте, напротив, понадобилось бы учесть оба порядка извлечения каждого сочетания цветов.
Красный и белый при известном различии цветов
Условие оставляет 167 допустимых пар, из которых 77 красно-белые. Следовательно:
P(красный и белый | разные цвета) = 77/167 ≈ 0,461078.
Тот же результат следует из отношения вероятностей (77/253)/(167/253). Общий знаменатель сокращается, но это происходит после корректного задания событий.
Проверка через дополнение
Одноцветных пар C(7, 2) + C(5, 2) + C(11, 2) = 21 + 10 + 55 = 86. Поэтому вероятность разных цветов также равна 1 − 86/253 = 167/253.
Для условного распределения сочетаний цветов получаем 35/167, 77/167 и 55/167. Сумма равна 1, но отдельные вероятности не равны 1/3. Большое число белых шаров увеличивает долю сочетаний, в которые они входят.
Формула условного ответа совпадает с источником; численные подсчёты и проверка через дополнение добавлены при адаптации.
Выбор без возвращения · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 7.5 · CC BY 4.0. Адаптация; расчёты развёрнуты.