Условие «ровно одно попадание» исключает сразу два случая: оба промахнулись и оба попали. После такого отбора исходные вероятности участников уже нельзя использовать без пересчёта.
P(ровно 1)=p₁(1−p₂)+(1−p₁)p₂
Условие
В исходной задаче два охотника одновременно стреляют в одну утку. Первый попадает с вероятностью 0,4, второй — с вероятностью 0,7, независимо от первого. Найдите вероятность ровно одного попадания и вероятность того, что единственное попадание принадлежит первому охотнику.
Далее рассматривается только вероятностная схема двух независимых попыток. Обозначим попадания событиями A₁ и A₂, а ровно одно попадание — B.
Четыре исхода
| Результат | Вероятность |
|---|---|
| Оба попали | 0,4 · 0,7 = 0,28 |
| Только первый | 0,4 · 0,3 = 0,12 |
| Только второй | 0,6 · 0,7 = 0,42 |
| Оба промахнулись | 0,6 · 0,3 = 0,18 |
Вероятности суммируются в единицу. Событие B объединяет две несовместные средние строки, поэтому P(B) = 0,12 + 0,42 = 0,54.
Кому принадлежит единственное попадание
Совместное событие A₁ ∩ B означает, что попал первый, а второй промахнулся. Его вероятность равна 0,12. Делим её на вероятность условия:
P(A₁ | B) = 0,12/0,54 = 2/9.
Для второго участника условная вероятность равна 7/9. Их сумма равна 1, поскольку после условия других вариантов не осталось. Ответ 2/9 и исходная формула совпадают со сборником.
Почему нельзя делить 0,4 на 0,54
Число 0,4 включает также случаи, когда попали оба участника. Но они запрещены условием B. Числитель должен описывать пересечение события с условием, а не событие отдельно.
Нельзя заменить «ровно одно» на «хотя бы одно»: во втором случае вероятность условия составляет 1 − 0,18 = 0,82, и появляется дополнительная строка с двумя попаданиями. Это уже другая условная задача.
Обратная вероятность · Математика.
Б. Демешев и участники · probability_pro, 7.2 · CC BY 4.0. Адаптация; добавлены таблица и пояснения.