У более медленной кассы тоже есть шанс закончить первой. Если известно, что именно она победила в такой гонке, её условное время обслуживания уже не имеет исходного среднего.
Условие и предположение о независимости
Тётя Зина обслуживает в среднем 5 клиентов в час, тётя Маша — 7. Время обслуживания у каждой имеет экспоненциальное распределение. Два клиента подошли к кассам одновременно.
Найдите вероятность, что Зина закончит первой, распределение времени до первого завершения и среднее время обслуживания у Зины при условии, что она закончила раньше Маши.
Как и для формул ответа в сборнике, далее нужна модель независимых времён обслуживания. Одна лишь экспоненциальность двух отдельных распределений без независимости не определяет ответы. Выводы ниже разворачивают исходные формулы.
Кто закончит первым
Пусть TЗ и TМ — времена в часах. Их интенсивности a = 5 и b = 7. Чтобы Зина закончила первой в момент t, её обслуживание должно завершиться около t, а Маша должна всё ещё обслуживать:
P(TЗ < TМ) = ∫₀∞ 5e−5t · e−7t dt = 5/12.
Ответ — примерно 41,67%. Вероятность одновременного завершения равна нулю, поэтому вероятность первого завершения у Маши составляет 7/12.
Время до освобождения первой кассы
Обозначим минимум времён через S. Событие S > t означает, что обе кассы продолжают обслуживание. По независимости:
P(S > t) = e−5te−7t = e−12t, t ≥ 0.
Следовательно, S имеет экспоненциальное распределение с интенсивностью 12 в час. Его функция распределения равна 1 − e−12t при t ≥ 0, а плотность — 12e−12t при t > 0.
E(S) = 1/12 часа = 5 минут.
Это время до первого из двух завершений, а не до завершения обслуживания обоих клиентов.
Время Зины при условии победы
Чтобы получить условную плотность TЗ при TЗ < TМ, делим совместный вклад 5e−12t на вероятность условия 5/12:
f(t | Зина первая) = [5e−12t]/(5/12) = 12e−12t.
Поэтому E(TЗ | TЗ < TМ) = 1/12 часа = 5 минут.
Без условия среднее время Зины равно 1/5 часа, то есть 12 минут. Условие отбора оставляет относительно быстрые для неё обслуживания и меняет распределение.
Общий результат
Для независимых экспоненциальных времён с положительными интенсивностями a и b вероятность первого завершения у первого участника равна a/(a + b), минимум имеет интенсивность a + b, а условное среднее времени победителя равно 1/(a + b).
Интенсивности задаются в единицах «событий за время». После обращения интенсивности получаем время; переход от часов к минутам выполняется умножением на 60.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Математика.
Борис Демешев и участники · probability_pro, задача 13.5 · CC BY 4.0. Адаптация; независимость уточнена, вывод развёрнут.