Разбор задачи из сборника «Заметки к семинарам по вероятностям» проекта probability_pro. Тема: выбор без возвращения и число испытаний до получения всех нужных объектов. Исходные данные сохранены; графическое решение преобразовано в последовательное объяснение и дополнено комбинаторной проверкой.
Условие
В коробке четыре внешне одинаковые лампочки, две из них исправны. Лампочки извлекают по одной до тех пор, пока не будут извлечены обе исправные. Пусть N — общее число извлечённых лампочек.
Нужно найти все возможные значения N, их вероятности и математическое ожидание E(N). В модели решения каждый порядок извлечения равновероятен; проверенные лампочки не возвращают в коробку.
Какие значения может принимать N
Минимально нужно проверить две лампочки: обе могут оказаться исправными. Максимально потребуется проверить все четыре, если последняя исправная попадётся последней. Поэтому N ∈ {2, 3, 4}.
Вероятность закончить после двух проверок
Первые две лампочки должны быть исправными. Для первой проверки вероятность равна 2/4. После извлечения исправной лампочки среди трёх оставшихся исправна только одна:
P(N = 2) = (2/4) · (1/3) = 1/6.
Вероятность закончить после трёх проверок
Обозначим исправную лампочку буквой И, неисправную — Н. Завершению на третьем шаге соответствуют два несовместных порядка: ИНИ и НИИ.
Для порядка ИНИ вероятность равна (2/4) · (2/3) · (1/2) = 1/6. Для порядка НИИ — (2/4) · (2/3) · (1/2) = 1/6.
P(N = 3) = 1/6 + 1/6 = 1/3.
Порядок ИИН сюда не входит: при нём обе исправные лампочки найдены уже после второй проверки, и третью проверку не проводят.
Вероятность четырёх проверок
Других возможных значений нет, поэтому используем дополнение:
P(N = 4) = 1 − 1/6 − 1/3 = 1/2.
| N | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| P(N) | 1/6 | 1/3 | 1/2 |
Математическое ожидание
E(N) = 2 · 1/6 + 3 · 1/3 + 4 · 1/2 = 10/3 ≈ 3,33.
Это среднее число проверок при многократном повторении опыта с четырьмя лампочками, из которых ровно две исправны. В отдельном опыте число проверок всегда целое.
Проверка через позиции исправных лампочек
Этот способ добавлен при редакционной обработке. Представим, что все четыре лампочки заранее расположены в случайном порядке. Пара позиций исправных лампочек равномерно выбирается из шести вариантов:
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4).
Число проверок N равно большей позиции в паре. Значение 2 встречается один раз, 3 — два раза, 4 — три раза. Поэтому вероятности равны 1/6, 2/6 и 3/6 — в точности как в первом решении.
Связанные материалы
Теория вероятностей и математическая статистика · Архив по математике.
Борис Демешев и участники probability_pro · Заметки к семинарам по вероятностям, задача 1.2 · CC BY 4.0. Адаптировано; уточнены обозначения, добавлена комбинаторная проверка.