Задача из открытого сборника «Заметки к семинарам по вероятностям» проекта probability_pro. Тема: выбор без возвращения, распределение дискретной случайной величины и математическое ожидание. Ниже сохранены исходные данные задачи; решение изложено в адаптированной текстовой форме.
Условие
В вазе пять неотличимых с виду конфет: две без ореха и три с орехом. Маша выбирает конфеты наугад и ест их до первой конфеты с орехом. Случайная величина X — число съеденных конфет, включая последнюю.
Нужно найти возможные значения X и их вероятности, вероятность P(X > 1) и математическое ожидание E(X).
Решение
Выбор происходит без возвращения: съеденная конфета в вазу не возвращается. Поэтому после каждого шага меняются и общее количество конфет, и условные вероятности следующего выбора.
Возможные значения: X = 1, 2 или 3. Если первая конфета с орехом, эксперимент сразу заканчивается. Если сначала попались обе конфеты без ореха, третья обязательно окажется с орехом. Больше трёх конфет Маша не съест.
Одна конфета
Из пяти конфет три подходят для завершения эксперимента сразу:
P(X = 1) = 3/5.
Две конфеты
Сначала нужна конфета без ореха, затем — с орехом. Вероятность первого события равна 2/5. После него остаются четыре конфеты, из которых три с орехом:
P(X = 2) = (2/5) · (3/4) = 3/10.
Три конфеты
Первые две конфеты должны быть без ореха. После первой такой конфеты остаётся одна без ореха среди четырёх; после второй все оставшиеся конфеты содержат орех:
P(X = 3) = (2/5) · (1/4) · 1 = 1/10.
| Число конфет X | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Вероятность | 3/5 | 3/10 | 1/10 |
Проверка: 3/5 + 3/10 + 1/10 = 1.
Вероятность съесть больше одной конфеты
Это произойдёт тогда и только тогда, когда первая конфета окажется без ореха:
P(X > 1) = 2/5 = 0,4.
Тот же ответ получается суммированием: P(X = 2) + P(X = 3) = 3/10 + 1/10 = 2/5.
Математическое ожидание
Умножаем каждое возможное значение на его вероятность и складываем:
E(X) = 1 · 3/5 + 2 · 3/10 + 3 · 1/10 = 3/2 = 1,5.
Число 1,5 не является возможным результатом одного опыта. Это среднее число конфет, к которому будет приближаться средний результат при большом количестве независимых повторений опыта с заново наполненной вазой.
Типичная ошибка
Нельзя использовать одну и ту же вероятность 3/5 на каждом шаге: такая модель соответствовала бы выбору с возвращением. В этой задаче число оставшихся конфет уменьшается.
Связанные материалы
Элементы дискретной математики, теория вероятностей и математическая статистика · Все материалы раздела «Математика».
Борис Демешев и участники probability_pro · Заметки к семинарам по вероятностям, задача 1.1 · CC BY 4.0. Адаптировано; добавлены пояснения и проверка.