p_total=(n₁p₁+n₂p₂)/(n₁+n₂): изменение весов способно обратить сравнение
Условие источника
Два лекарства испытывали на мужчинах и женщинах; каждый участник получал только одно средство. В целом доля улучшений выше у А, но отдельно среди мужчин и отдельно среди женщин доля улучшений выше у В. Возможно ли это? Что можно рекомендовать, не зная пола пациента?
В сборнике решение не заполнено. Ниже дан редакционный математический разбор. Это условная задача о процентах, не клиническая рекомендация; А и В не обозначают реальные препараты.
Таблица, подтверждающая возможность
Построим следующие вымышленные данные:
| Группа | А: улучшения / участники | В: улучшения / участники |
|---|---|---|
| Мужчины | 90/100 = 90% | 19/20 = 95% |
| Женщины | 2/10 = 20% | 30/100 = 30% |
| Все участники | 92/110 ≈ 83,64% | 49/120 ≈ 40,83% |
В каждой строке пола В имеет более высокую долю. Однако в общей строке выше А. Значит, описанная ситуация арифметически возможна.
Почему изменилось направление
У А большинство участников относится к группе с высокой исходной долей улучшений; у В — к группе с низкой. Общая доля — взвешенное среднее групповых долей. Весами служат доли участников внутри каждого варианта, и эти веса у А и В различны.
Нельзя сравнивать общие проценты так, будто они получены при одинаковой структуре групп. Простое усреднение двух процентов без численностей тоже неверно.
Как ответить на вопрос о выборе
В упрощённой модели, где групповые доли задают сопоставимые вероятности результата и пол — единственное необходимое различие, В имеет преимущество при любых одинаковых для обоих вариантов весах мужчин и женщин: взвешенная сумма двух положительных преимуществ остаётся положительной.
Но из приведённого описания исследования нельзя установить, отражают ли доли причинный эффект лечения, как выбирались участники и были ли другие различия. Поэтому реальный выбор лекарства по этим данным не обоснован. Математическое сравнение при заданной модели и клинический вывод — разные задачи.
Проверка при объединении данных
Нужно сохранять не только проценты, но и числители, знаменатели и признаки групп. Именно таблица численностей показывает, что противоположные результаты не противоречат друг другу, а относятся к разным составам наблюдений.
Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.9 · CC0 1.0. Условие источника; таблица и оговорки редакции.