Условие
На всей действительной прямой найдите f*(s)=supₓ(sx−f(x)) и f**(x)=supₛ(xs−f*(s)) для f(x)=x², 1, |x|, sin x, x³ и max(0,x³). Допускаются значения ±∞.
Решение источника
В источнике полностью дан ответ для x², частично — для константы и x³. Остальные пункты оставлены незаполненными. Ниже все шесть случаев решены по определению.
Редакционное объяснение
| f(x) | f*(s) | f**(x) |
|---|---|---|
| x² | s²/4 | x² |
| 1 | −1 при s=0; +∞ иначе | 1 |
| |x| | 0 при |s|≤1; +∞ иначе | |x| |
| sin x | 1 при s=0; +∞ иначе | −1 |
| x³ | +∞ для любого s | −∞ для любого x |
| max(0,x³) | 2s3/2/(3√3) при s≥0; +∞ при s<0 | max(0,x³) |
Для квадрата дополним до полного квадрата: sx−x²=s²/4−(x−s/2)². Для константы при s≠0 линейное выражение sx−1 неограниченно сверху. Для модуля при |s|≤1 верно sx−|x|≤0, и ноль достигается при x=0; при |s|>1 выберем подходящий знак x и отправим его модуль к бесконечности.
Синус ограничен, поэтому при s≠0 линейная часть обеспечивает +∞. При s=0 супремум −sin x равен 1. В бипреобразовании остаётся только s=0, дающий −1. Для x³ при фиксированном s выражение sx−x³ стремится к +∞ при x→−∞; поэтому сопряжённая функция тождественно +∞, а бипреобразование в расширенном смысле равно −∞.
Для g(x)=max(0,x³) при s<0 ветвь x≤0 даёт +∞. При s≥0 на отрицательной полуоси максимум равен 0; на положительной надо максимизировать sx−x³. Условие s−3x²=0 даёт x=√(s/3) и значение 2s3/2/(3√3). Для x>0 бипреобразование достигает x³ при s=3x²; при x≤0 оптимальное s=0 даёт 0. Следовательно, g**=g.
Проверка
Формулы квадрата и положительной кубической ветви проверены подстановкой точек максимума. Для s=0,1,3,12 численный расчёт совпадает с формулой. Случаи бесконечности доказаны явными хвостами; конечный перебор сетки такого доказательства не заменяет.
Что не следует из ответа
Сопряжённая функция не является обычной обратной функцией. Равенство f**=f требует выпуклости и замкнутости для собственной функции; для sin x и x³ его нет. Сопряжение может иметь бесконечные значения, даже если исходная функция всюду конечна.
Борис Демешев и участники · «Задачки по методам оптимальных решений», задание и исходное решение, строка 1739 · CC0 1.0. Адаптация damirock.com: заполнены все шесть пунктов, выведены формулы по определению и указаны случаи расширенных значений.