Решение задач

Тест

 

1. Векторы и коллинеарны при значениях  и …

а) ни при каких значениях  и

б) ,

в) при любых значениях  и

г) ,

д) ,

 

Решение:

Векторы коллинеарны при: . То есть в таком случае для равенства необходимо, чтобы  и .

Ответ: д) , .

 

2. Расстояние от точки до прямой равно …

а)

б)

в)

г) 45

д)

 

Решение:

Из уравнения прямой получим  – направляющий вектор прямой,  – точка, лежащая на прямой. Тогда:

Расстояние от точки до прямой равно:

Ответ: д) .

 

3. Объем пирамиды АВСД. заданной вершинами , , , , равен…

а) 18

б) 50

в) 5/6

г) 100

д) 50/3

 

Решение:

Даны координаты пирамиды: А(2,5,1), В(6,2,6), С(5,3,9), Д(3,-2,-4). Объем пирамиды, построенной на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

Координаты векторов находим по формуле:

X = x_j – x_i; Y = y_j – y_i; Z = z_j – z_i

Например, для вектора АВ.

X = x₂ – x₁; Y = y₂ – y₁; Z = z₂ – z₁

X = 6 – 2 = 4; Y = 2 – 5 = -3; Z = 6 – 1 = 5

АВ(4;-3;5)

АС(3;-2;8)

АД(1;-7;-5)

Объем пирамиды равен:

∆ = 4*((-2)*(-5) – (-7)*8) – 3*((-3)*(-5) – (-7)*5) + 1*((-3)*8 – (-2)*5) = 100.

Ответ: г) 100

 

4. Найти обратную матрицу для матрицы

а)

б)

в)

г)

д)

 

Решение:

Для нахождения обратной матрицы запишим матрицу А, дописав к ней справа единичную матрицу:

1-ую строку делим на -1:

От 2 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 1:

2-ую строку делим на 3:

от 1 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на -2:

Ответ: в)

 

5. Дана система уравнений . Для того, чтобы найти значение переменной x при решении этой системы по формулам Крамера, достаточно вычислить только определители

а)  и

б)  и

в)  и

г)  и

д) ,  и

 

Решение:

Первый определитель составит:

Второй определитель составит:

Ответ: в)  и

 

6. Даны функции спроса и предложения , где p – цена товара. Тогда равновесная цена равна…

а) 3

б) -1

в) -3/2

г) 3/2

д) 1

 

Решение:

Равновесная цена определяется при равенстве спроса и предложения, то есть:

Тогда:

Определим дискриминант: b² – 4ac = 1² – 4*2*(-3) = 25.

x₁ = (-1 + 5) / (2 * 2) = 1

x₂ = (-1 – 5) / (2 * 2) = -1,5

Так как отрицательное значение цены не может быть, то равновесная цена равна 1.

Ответ: д) 1

 

7. Формула общего члена a_n последовательности имеет вид…

а)

б)

в)

г)

д)

 

Подставляя вместо n каждое последовательные числа (1, 2, 3 и так далее) определяем необходимую формулу. В данном случае подходит .

 и так далее.

Ответ: в)

 

8. Если , то …

а)

б)

в)

г)

д)

 

Решение:

Ответ: б)

 

9. функции удовлетворяют неравенствам…

а)

б)

в)

г)

д)

 

По рисунку видно, что функции удовлетворяют неравенствам .

 

Ответ: б)

 

10. Интеграл равен …

а)

б)

в)

г)

д)

 

Решение:

Делаем замену переменных:

Получим:

Выносим константу из-под знака интеграла.

Проинтегрируем степенную функцию.

Сделаем обратную замену.

Ответ: г)

 

11. Площадь фигуры, ограниченной линиями , , равна…

а)

б)

в)

г)

 

Решение:

Приравняем уравнения и найдем их корни.

3-x=2/3

x²-3x+2=0

Дискриминант: (-3)² – 4*1*2 =9-8=1.

x₁=(3+1)/(2*1)=2

x₂=(3-1)/(2*1)=1

Подставим их в уравнения:

Тогда площадь фигуры определяется по формуле:

Ответ: а)

 

12. Пусть , тогда равна …

а) 2

б) 0

в) 4

г) 3

д) 7

 

Решение:

Ответ: б) 0

 

13. Ряд …

а) расходится

б) сходится абсолютно

в) сходится условно, абсолютно расходится

г) сходится

 

Ответ: г) сходится

 

14. Сумма комплексных чисел z1=2+3i и z2=1-2i равна …

а) 2-6i

б) 3-i

в) 3+2i

г) 3+i

д) 3+3i

 

Решение:

z₁ + z₂ = (2+1) + (3-2)i = 3 + i

Ответ: г) 3+i

 

15. Линейное уравнение второго порядка имеет решение…

а)

б)

в)

г)

д)

Ответ: в)

 

16. Производятся два выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6; для второго – 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет хотя бы одна пробоина.

а) 0,92

б) 0,48

в) 1,4

г) 0,77

 

Решение:

Обозначим через А₁ – событие, состоящее в том, что первый выстрел поразил мишень; А₂ – второй. События А₁, А₂ – независимы. По условию задачи Р(А₁) = 0,6; Р(А₂) = 0,8. События Ā₁, Ā₂ заключаются в том, что соответствующий выстрел не поразил мишень. Р(Ā₁) = 1 – Р(А₁) = 0,4; Р(Ā₂) = 1 – Р(А₂) = 0,2.

Событие В₁ – в мишени будет хотя бы одна пробоина. Событие В является противоположным событию В₂ – в мишени не будет ни одной пробоины. Поэтому:

В₂ = Ā₁*Ā₂

Р(В₂) = Р(Ā₁*Ā₂) = Р(Ā₁)*Р(Ā₂) = 0,4 * 0,2 = 0,08

Р(В₁) = 1 – Р(В₂) = 1 – 0,08= 0,92

Ответ: а) 0,92

 

17. Вероятность попадания стрелка в цель равна 0,4. Найти наивероятнейшее число попаданий, если было произведено 64 выстрела.

а) 29

б) 25

в) 24

г) 31

 

Решение:

Так как события не взаимозависимые, то число попаданий можно найти путем умножения вероятности на число выстрелов: 0,4 * 64 = 25,6 = 25.

Ответ: б) 25

 

18. Стандарт случайной величины X равен 2. Дисперсия равна …

а) 4

б) 13

в) 16

г) 9

 

Решение:

Стандарт  случайной величины равен квадрату дисперсии, тогда:

Ответ: г) 9

 

19. В результате пяти измерений длины стержня одним прибором (без математических погрешностей) получены следующие результаты (в мм): 92, 94, 103, 105, 106. Несмещенная оценка длины стержня равна

а) 106

б) 100

в) 105

г) 94

 

Несмещенная оценка длины стержня равна:

х=92+(0+2+11+13+14)/5=100

Ответ: б) 100