⟨Ax,y⟩=xᵀAᵀy=⟨x,Aᵀy⟩ ⇒ B=Aᵀ
Задача
Как должны быть связаны матрицы A и B, чтобы для любых векторов x и y выполнялось ⟨Ax,y⟩=⟨x,By⟩?
Ответ источника
B=Aᵀ.
Доказательство
В стандартном евклидовом произведении
⟨Ax,y⟩=(Ax)ᵀy=xᵀAᵀy.
Правая часть равна xᵀBy. Поэтому требование для всех x,y означает
xᵀ(Aᵀ−B)y=0 для любых x,y.
Выбирая x и y как базисные векторы, можно по отдельности извлечь каждый элемент матрицы Aᵀ−B. Все они обязаны быть нулевыми, следовательно, B=Aᵀ.
Смысл
В евклидовом пространстве транспонированная матрица представляет сопряжённый оператор. Если A=Aᵀ, оператор самосопряжённый; это ключевое свойство симметричных матриц и их спектрального разложения.
При нестандартном скалярном произведении, заданном положительно определённой матрицей G, формула сопряжённого меняется. Исходная задача использует обычное евклидово произведение.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 32 · CC BY 4.0. Краткий ответ источника сохранён; доказательство добавлено.