Задача
x_t=φx_{t−1}+u_t+θu_{t−1}, φ=0,5, θ=0,4, Var(u)=1. Найдите γ0, γ1 и общий вид γk.
MA(∞)-коэффициенты
(1−φL)x=(1+θL)u. Поэтому ψ0=1, а для j≥1 ψ_j=(φ+θ)φ^{j−1}. Здесь ψ1=0,9, ψ2=0,45, …
Дисперсия
γ0=Σψ_j²=1+(φ+θ)²/(1−φ²).
γ0=1+0,9²/0,75=2,08.
Первый лаг
γ1=Σ_{j≥0}ψ_jψ_{j+1}=ψ1+Σ_{j≥1}ψ_jψ_{j+1}.
γ1=(φ+θ)+φ(φ+θ)²/(1−φ²)=0,9+0,54=1,44.
Дальнейшие лаги
Для k≥1 γ_k=φ^{k−1}γ1, поскольку после первого лага AR-часть задаёт рекурсию. Значит, ρ2=0,5ρ1 и так далее.
Числа 1,6533/1,2267 были бы результатом другой sign convention или параметров; здесь расчёт согласован с явно записанной моделью 1+θL.
Редакционная практика по ARMA из tssp_exams · CC0 1.0. Формулы проверены по MA(∞)-представлению.