H(P,R)≤G(P,R)≤A(P,R); F1=2PR/(P+R)
Условие
Среднее записано в форме f^{-1}([f(x₁)+f(x₂)]/2). Какая f даёт среднее геометрическое? Три исследователя усредняют precision и recall арифметически, геометрически и гармонически. Кто получит наибольшее и наименьшее значение?
Ответ источника
Для геометрического среднего f(t)=log t. Для положительных аргументов гармоническое ≤ геометрическое ≤ арифметическое.
Проверка
f^{-1}(u)=e^u, поэтому e^{(ln x₁+ln x₂)/2}=√(x₁x₂). При x₁,x₂>0 классическое неравенство средних даёт порядок H≤G≤A, с равенством только при x₁=x₂.
Связь с F1
Гармоническое среднее precision и recall равно F1: 2PR/(P+R), если знаменатель положителен. Оно сильнее штрафует ситуацию, когда одна характеристика заметно меньше другой.
Если одна из величин равна нулю, логарифмическое представление геометрического среднего требует предельной интерпретации, хотя само √(PR)=0 определено. Классификационные метрики также требуют договорённости при нулевых знаменателях.
Борис Демешев и участники · mlearn_pro, задача 18 · CC BY 4.0. Ответ источника сохранён; связь с F1 пояснена.