Почему X̄ для значений 1 и 2 не оценивает θ напрямую: граница Рао

Научная визуализация Почему X̄ для значений 1 и 2 не оценивает θ напрямую: граница Рао — Крамера

Почему X̄ для значений 1 и 2 не оценивает θ напрямую: граница Рао — Крамера. Само X̄ эффективно для 2−θ, а не для θ.

E[X]=2−θ; θ̂=2−X̄; Var(θ̂)=θ(1−θ)/n

Само X̄ эффективно для 2−θ, а не для θ.

Условие

P(X=1)=θ, P(X=2)=1−θ. Найдите моменты, исследуйте X̄ как оценку θ, информацию Фишера и границу Рао — Крамера.

E(X)=2−θ, Var(X)=θ(1−θ). Поэтому X̄ стремится к 2−θ и не является состоятельной или несмещённой оценкой θ.

θ̂=2−X̄ несмещённа и состоятельна, Var(θ̂)=θ(1−θ)/n.

Одно наблюдение эквивалентно Bernoulli-индикатору I{X=1}. Поэтому I₁=1/[θ(1−θ)], I_n=n/[θ(1−θ)]. Обратная информация совпадает с Var(2−X̄).

Источник говорит о достижении границы самой X̄. Это корректно для функции 2−θ, но не для параметра θ. Для θ эффективна именно 2−X̄.

statistics_pro 8.4 · CC0 1.0 · интерпретация ключа исправлена.