Условие источника
В учебной выборке y — количество съеденных пирожков. Индикаторы f и m описывают две взаимоисключающие исчерпывающие группы: f+m=1. Оценены четыре модели: A) y~1+f; B) y~1+m; C) y~f+m без константы; D) y~1+f+m. Найдите смысл коэффициентов и связи между ними.
Ключ в источнике не заполнен. Ниже — редакционное решение при наличии наблюдений обеих групп. Бинарное кодирование относится только к заданной учебной модели.
Три идентифицируемые записи
Обозначим групповые средние через ȳ_f и ȳ_m. В модели A свободный член равен ȳ_m, коэффициент f — ȳ_f−ȳ_m. В модели B свободный член равен ȳ_f, коэффициент m — ȳ_m−ȳ_f.
В модели C коэффициенты при f и m равны ȳ_f и ȳ_m. Все три модели дают одинаковые прогнозы: каждому наблюдению присваивается среднее его группы. Поэтому остатки и суммы их квадратов тоже совпадают.
Избыточная четвёртая модель
Столбец константы равен сумме двух индикаторов. Коэффициенты не определяются единственным образом: для любого c можно взять δ̂₁=c, δ̂₂=ȳ_f−c, δ̂₃=ȳ_m−c. Прогнозы остаются теми же.
Это и есть ловушка фиктивных переменных. Программа может удалить один столбец или выбрать одно решение по дополнительному правилу; выданные таким способом отдельные коэффициенты нельзя объявлять единственными без описания ограничения.
Проверка
У модели A α̂₁+α̂₂=ȳ_f, у B β̂₁+β̂₂=ȳ_m; наклоны противоположны. Если одна группа отсутствует, даже первые три формы теряют соответствующую идентифицируемость. Размеры групп влияют на точность оценок, но не меняют их интерпретацию как средних.
Борис Демешев и участники · Исходное задание · CC BY 4.0. Условие сохранено; решение редакции.