Условия из англоязычных блоков исходника
В модели с константой и k−1 наклонами выразите стандартную F-статистику проверки всех наклонов на ноль через R² полной регрессии. Затем для парной регрессии выразите F проверки единственного наклона на ноль через соответствующую t-статистику.
Используется F=[(SSR_R−SSR_UR)/q]/[SSR_UR/(n−k)]. Во втором задании источник приводит ключ F=t²; первый ответ не заполнен. Перевод и вывод формул выполнены редакцией.
Общая значимость
При нулевых наклонах ограниченная модель содержит только константу, поэтому SSR_R=TSS, q=k−1. В полной модели SSR_UR=(1−R²)TSS. Подстановка даёт
F=[R²/(k−1)]/[(1−R²)/(n−k)].
Формула требует n>k и ненулевых соответствующих сумм квадратов. При нормальных гомоскедастичных независимых ошибках под нулевой гипотезой F имеет распределение F_{k−1,n−k}.
Один наклон
Для парной регрессии k=2 и q=1. Уменьшение остаточной суммы при добавлении x равно β̂₂²Sxx, где Sxx=Σ(xᵢ−x̄)². Поэтому F=β̂₂²Sxx/s². Стандартная ошибка наклона равна √(s²/Sxx), следовательно, F=(β̂₂/se(β̂₂))²=t².
Какие проверки совпадают
Правосторонний F-тест соответствует двустороннему t-тесту при том же уровне значимости. Знак наклона после возведения в квадрат теряется, поэтому односторонние альтернативы β₂>0 и β₂<0 нельзя различить одной F-статистикой.
Борис Демешев и участники · Два исходных задания · CC BY 4.0. Перевод; незаполненный вывод дополнен явно.