Без константы β̂=13/9; с константой ŷ=−1+2x
Условие
Каждый день Маша решает xᵢ задач и съедает yᵢ конфет. Наблюдаются пары (1,1), (2,2), (2,4). Для модели yᵢ=βxᵢ+uᵢ найдите оценку МНК, постройте прямую и выведите общую формулу. Повторите задания для модели yᵢ=β₁+β₂xᵢ+uᵢ.
Ответы источника
Без константы β̂=13/9, в общем случае β̂=Σxᵢyᵢ/Σxᵢ². С константой β̂₁=−1, β̂₂=2; общая формула наклона — Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)/Σ(xᵢ−x̄)². В ключе рисунки не приведены.
Редакционный разбор
Сумма произведений xy равна 1+4+8=13, сумма квадратов x — 1+4+4=9. Отсюда первая оценка. Для второй модели x̄=5/3, ȳ=7/3, сумма квадратов центрированных x равна 2/3, сумма перекрёстных отклонений — 4/3. Наклон равен 2, свободный член ȳ−2x̄=−1.
Для построения нанесите исходные три точки и прямые y=(13/9)x и y=−1+2x. Первая проходит через начало координат, вторая — через (x̄,ȳ). По второй прямой прогнозы равны 1,3,3, остатки — 0,−1,1; их сумма нулевая.
Общая формула без константы требует Σxᵢ²>0, с константой — ненулевого разброса x. Эти условия обеспечивают определённость знаменателей и единственность соответствующих коэффициентов.
Борис Демешев и участники · metrics_pro, исходное задание · CC BY 4.0. Численные ответы сохранены; вычисления и указания к построению добавлены.