Лемма Стейна: интегрирование по частям и моменты сдвинутой нормальной величины

Задания

Докажите E[Zh(Z)]=E[h′(Z)] для Z∼N(0,1), сначала для многочленов, затем при более общих условиях. Обобщите на N(μ,σ²). Примените к моментам стандартной нормальной величины и Y∼N(1,4). Задачи 3.9 и 3.11 объединены; исходные ответы для стандартных моментов сохранены.

Доказательство

У стандартной нормальной плотности φ′(z)=−zφ(z). Поэтому интегрирование по частям даёт ∫zh(z)φ(z)dz = −[h(z)φ(z)]_−∞^∞ + ∫h′(z)φ(z)dz.

Для многочлена граничный член нулевой: гауссова экспонента убывает быстрее любой степени. Значит, E[Zh(Z)]=E[h′(Z)]. Достаточные более общие условия: h локально абсолютно непрерывна, оба ожидания абсолютных величин |Zh(Z)| и |h′(Z)| конечны, а h(z)φ(z) стремится к нулю на обоих концах. Эти условия достаточны, но не заявляются минимальными.

Сдвиг и масштаб

Для Y=μ+σZ замена переменной приводит к E[(Y−μ)h(Y)] = σ²E[h′(Y)]. Здесь σ>0; для постоянной величины σ=0 тождество выполняется отдельно при определённых выражениях.

Моменты

Беря h(z)=z^r−1, получаем рекурсию E(Zʳ)=(r−1)E(Z^r−2). Поэтому E(Z³)=0, E(Z⁴)=3, E(Z⁶)=15, E(Z²⁰²⁴)=2023·2021·…·3·1, как в источнике.

Для Y∼N(1,4) запишем Y=1+2Z. Раскрытие куба и четвёртой степени даёт E(Y³)=13 и E(Y⁴)=73.

При h(y)=y¹⁰⁰ обобщённая лемма даёт E[(Y−1)Y¹⁰⁰]=400E(Y⁹⁹). Полностью явный ответ можно записать конечной суммой: E(Y⁹⁹)=Σ_j=0⁴⁹C(99,2j)2^2j(2j−1)!!, где (−1)!!=1.

Проверка условий

Все использованные функции — многочлены, поэтому нормальные моменты конечны и граничные члены исчезают. Перенос тождества на произвольную негладкую или быстро растущую функцию без проверки условий был бы необоснован.

Математика и статистика.

Б. Демешев и участники · statistics_pro, 3.9, 3.11 · CC0 1.0. Задачи объединены; доказательство и применение дополнены.