Средний размер учебной группы глазами преподавателя и студента

Условие

Есть три группы по 10 человек, две по 20 и одна из 40 человек; у каждой свой преподаватель. Найдите средний размер группы для случайно выбранного преподавателя и для случайно выбранного студента. Можно ли по опросу случайных студентов восстановить среднее с точки зрения преподавателей?

В исходной задаче решение не заполнено. Далее приведён редакционный вывод для равномерного выбора преподавателя среди шести и студента среди всех 110 учащихся.

Преподаватель выбирает группу равновероятно

Каждая группа получает вес 1/6, независимо от её размера. Поэтому E(G_преп) = (3 · 10 + 2 · 20 + 40)/6 = 55/3 ≈ 18,33.

Студент чаще оказывается в большой группе

В группах размера 10 учатся 30 из 110 студентов; в группах размера 20 — 40; в группе размера 40 — тоже 40. Следовательно:

E(G_студ) = 10 · 30/110 + 20 · 40/110 + 40 · 40/110 = 270/11 ≈ 24,55.

Это не ошибка опроса. При равномерном выборе студента каждая группа представлена пропорционально своей численности, а не одной одинаковой долей.

Восстановление среднего по группам

Пусть всего N студентов и K групп размеров n₁,…,n_K. Если G — размер группы случайного студента, то E(1/G) = Σ(nⱼ/N)(1/nⱼ) = K/N. Поэтому истинный средний размер группы N/K равен 1/E(1/G).

В нашей задаче E(1/G) = 6/110 = 3/55, обратная величина равна 55/3, как в преподавательском расчёте.

Как использовать выборочный опрос

По ответам G₁,…,G_r сначала усредняют обратные размеры: (1/r)Σ1/Gᵢ, затем берут обратную величину. При независимом равномерном выборе студентов этот подход даёт состоятельную оценку среднего по группам. Для конечного опроса обратное выборочное среднее не обязано быть несмещённым.

Обычное среднее самих Gᵢ оценивает другой показатель — средний размер группы студента. Разница связана с единицей выборки, которую необходимо указать до расчёта.

Математика и статистика.

Б. Демешев и участники · statistics_pro, 1.5 · CC0 1.0. Условие источника; решение редакции.